Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的一边AB在x轴上,∠ABC=90°,点C(4,8)在第一象限内,AC与y轴交于点E,抛物线y= +bx+c经过A. B两点,与y轴交于点D(0,6).

(1)请直接写出抛物线的表达式；

(2)求ED的长；

(3)点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；

(4)若点M是x轴上一点(不与点A重合)，抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN.若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）DE=+6=；（3）S= (2<m<4)；（4）N点坐标为( );( )

【解析】

（1）先确定B（4，0），再利用待定系数法求出抛物线解析式为

（2）先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y= ，则可确定E（0， ），然后计算DE的长；

（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m，-6），则Q（m，），则PQ=-，然后根据三角形面积公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ计算即可；

（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根据角平分线的性质得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，则F（4，3），接着求出直线AF的解析式为y=x+1，于是通过解方程组 得N点坐标为（ ）；当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，先在证明Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下来利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=-2x-4，然后解方程组 得N的坐标．

(1)∵BC⊥x轴,点C(4,8)，

∴B(4,0)，

把B(4,0),C(0,6)代入y=+bx+c得 ,解得 ，

∴抛物线解析式为；

(2)设直线AC的解析式为y=px+q，

把A(2,0),C(4,8)代入得 ,解得 ，

∴直线AC的解析式为y=，

当x=0时,y== ,则E(0, )，

∴DE=+6= ；

(3)如图1,作PQ∥y轴交AC于Q，

设P（m，-6），则Q（m，），

∴PQ=-，

∴S=S△PAQ+S△PCQ=6PQ= (2<m<4)；

(4)如图2,当点M在x的正半轴,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,则FH=FB,

易得AH=AB=6，

∵AC== =10，

∴CH=106=4，

∵cos∠ACB= ，

∴CF= =5，

∴F(4,3)，

易得直线AF的解析式为y= x+1，

解方程组得 或 ，

∴N点坐标为()；

当点M′在x的负半轴上时,AN′交y轴与G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴ ,即 ，解得OG=4，

∴G(0,4)，

易得直线AG的解析式为y=2x4，

解方程组得或 ，

∴N′的坐标为()，

综上所述,满足条件的N点坐标为( );( )