Question

19．$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
将以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）猜想并写出：$\frac{1}{18×19}$=$\frac{1}{18}$-$\frac{1}{19}$． 
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2016×2018}$．

Answer 1

分析 （1）利用分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成分子是1，分母是这两个自然熟的差，由此得出答案即可；
（2）利用发现的规律拆项抵消计算得出答案即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{18×19}$=$\frac{1}{18}$-$\frac{1}{19}$，
故答案为：$\frac{1}{18}$-$\frac{1}{19}$；

（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
②原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$，$\frac{n}{n+1}$；

（3）原式=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2018}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2018}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2018}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{504}{1009}$
=$\frac{252}{1009}$．

点评 此题考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，弄清拆项规律是解本题的关键．