Question

8．如图，抛物线为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），
点C（2，m）在抛物线上，点C关于x轴的对称点为D，连结AD，CD．
（1）填空：m=-$\sqrt{3}$；
（2）点E是坐标平面的动点，若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E坐标；
（3）若P（a，b）是抛物线上一动点，且位于A、C两点之间，设四边形APCD的面积为S，求S与a之间的函数关系式，并求S的最大值；
（4）若直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m上存在动点Q，使∠AQD=90°，求出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点C的坐标代入抛物线的解析式即可求得m的值；
（2）令y=0可求得点A的坐标，由抛物线的对称性可得到点D的坐标，然后根据平行四边形的定义画出图形，接下来，依据平行四边形对边平行且相等的性质可求得定E的坐标；
（3）记DC与x轴的交点为M，连接PM．依据S=S_△AMD+S_△PAM+S_CPM得到S与a的函数关系式，接下来，依据二次函数的性质可求得S的最大值；
（4）如图5所示：以AD为直径作圆F，直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$与圆F的交点Q满足∠AQD=90°（Q与A、D不重合）．过点H作HM⊥直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，垂足为M．先求得直线AD的解析式，从而可知直线AD与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m平行，在△MGH中依据特殊锐角三角函数值可求得HG的长度，从而得到点G和点G′的坐标，从而得到m的取值范围．

解答 解：（1）∵将x=2，代入抛物线的解析式得；y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3×（-1）=-$\sqrt{3}$，
∴m=-$\sqrt{3}$．
故答案为；-$\sqrt{3}$．
（2）∵点C与点D关于x轴对称，点C（2，-$\sqrt{3}$），
∴DC=2$\sqrt{3}$．
令y=0，得$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）=0．
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
如图1所示；

∵ADCE为平行四边形，
∴AE=DC．
∴AE=2$\sqrt{3}$．
∴E（-1，-2$\sqrt{3}$）．
如图2所示：

∵ADCE为平行四边形，
∴AE=DC．
∴AE=2$\sqrt{3}$．
∴E（-1，2$\sqrt{3}$）．
如图3所示；

∵ACED为平行四边形，
∴AF=EF．
又∵AE⊥DC，
∴点E与点A关于CD对称．
∴AE=6．
∴OE=5
∴E（5，0）．
综上所述点E的坐标为（5，0），（-1，2$\sqrt{3}$），（-1，-2$\sqrt{3}$）．
（3）如图4：记DC与x轴的交点为M，连接PM．

设点p的坐标为（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$）．
∵S_△AMD=$\frac{1}{2}$AM•MD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，S_△PAM=$\frac{1}{2}$AM•|$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-$\sqrt{3}$|=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\sqrt{3}$a+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，S_△PMC=$\frac{1}{2}$MC•PC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S=S_△AMD+S_△PAM+S_CPM=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a$+4\sqrt{3}$．
∴S=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{33\sqrt{3}}{8}$．
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，S取得最大值，S的最大值是$\frac{{33\sqrt{3}}}{8}$．
（4）如图5所示：以AD为直径作圆F，直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$与圆F的交点Q满足∠AQD=90°（Q与A、D不重合）．过点H作HM⊥直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，垂足为M．

∵由两点间的距离公式可知：AD=2$\sqrt{3}$，
∴圆F的半径为$\sqrt{3}$．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线AD与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m平行．
当直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$与圆相切时，MH=FQ=$\sqrt{3}$．
当Q在AD的上方时，在△HMG中，HG=MH÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2．
∴OG=2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
当点Q在AD的下方时，HG′=2，
∴OG′=2$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴m的取值范围是：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}-2≤$m≤$\frac{{\sqrt{3}}}{3}+2$，且$m≠\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、特殊锐角三角函数值，根据题意得到S与a的函数关系式以及求得OG和OG′的长度是解题的关键．