Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②AP=BQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°；⑤DE=DP．
恒成立的结论有

 

（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；   
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知④正确；
⑤根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知⑤错误；

解答：解：①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
故①正确；

②∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，

∠CAD=∠CBE AC=BC ∠ACB=∠BCQ

，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ；
故②正确；
③∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故③正确；
④∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°．
故④正确；
⑤∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE；
故⑤错误；
综上所述，正确的结论有：①②③④，
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．