Question

8．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=$\frac{3}{4}$，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；
（2）证明△EDF∽△BDE，得出$\frac{{{S_{△DEF}}}}{{{S_{△BDE}}}}={（{\frac{DE}{BD}}）^2}$，求出CE=|x-12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；
（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：
①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△BAD中，$cot∠ADB=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$，AB=16，
∴AD=12∴$BD=\sqrt{A{D^2}+A{B^2}}=20$；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DEF=∠ADB，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴$\frac{{{S_{△DEF}}}}{{{S_{△BDE}}}}={（{\frac{DE}{BD}}）^2}$，
∵BC=AD=12，BE=x，
∴CE=|x-12|，
∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，$DE=\sqrt{{{16}^2}+{{（{x-12}）}^2}}=\sqrt{{x^2}-24x+400}$，
∵${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}×BE×CD=\frac{1}{2}•x•16=8x$，
∴$\frac{y}{8x}={（{\frac{{\sqrt{{x^2}-24x+400}}}{20}}）^2}$，
∴$y=\frac{{{x^3}-24{x^2}+400x}}{50}$，定义域为0＜x≤24
（3）∵△EDF∽△BDE，
∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，
①当BE=BD时
∵BD=20，
∴BE=20
②当DE=DB时，
∵DC⊥BE，
∴BC=CE=12，
∴BE=24；
③当EB=ED时，
作EH⊥BD于H，则BH=$\frac{1}{2}BD=10$，cos∠HBE=cos∠ADB，
即$\frac{AD}{BD}=\frac{BH}{BE}$
∴$\frac{12}{20}=\frac{10}{BE}$，
解得：BE=$\frac{50}{3}$；
综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或$\frac{50}{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角函数定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．