Question

如图，已知：以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．AF=5，EF=10，
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求sin∠CBE的值．

Answer 1

（本题满分7分）
（1）证明：连接OE，
∵BE是∠B的平分线，
∴∠ABE=∠CBE．
∴OE⊥AC．
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF．
∵E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠EAC．
∵∠EAC=∠EBC，
又∵∠ABE=∠CBE，
∴∠FEA=∠ABE．
又∵∠F=∠F，
∴△EFA∽△BFE．
∴．
∴EF²=AF•FB=15．
∴⊙O的半径长7.5．

（3）解：∵△EFA∽△BFE，
∴AEBE．
设AE=k，BE=2K，
∵∠AEB=90°，
∴AE²+BE²=AB²∴k²+4k²=15²k=3．
∴AE=3．
∴sin∠ABE=．
∴sin∠CBE=sin∠ABE=．
分析：（1）连接OE，证明OE⊥EF．
（2）通过证明△EFA∽△BFE，得出EF²=AF•FB，求出半径．
（3）求sin∠CBE，即求sin∠ABE，由△EFA∽△BFE，得出AE：BE=EF：BF=2，在△ABE中由勾股定理求出AE，从而得出结果．
点评：（1）连接半径是证明切线常用的辅助线的作法．
（2）求三角函数值，经常是根据定义，放在直角三角形中去求．