Question

已知：如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BD于O，BC=13

2

，如果AB=a，CD=b，a+b=34
求：a、b的值．

Answer 1

分析：过C作CE∥DB交AB的延长线于E，作CF⊥AE，从而构建了平行四边形DCEB，则把AB+CD转化到AE边上，然后利用等腰直角三角形的性质求解．

解答：解：过C作CE∥DB交AB的延长线于E，作CF⊥AE
∵BD⊥AC
∴CE⊥AC（2分）
∵ABCD是等腰梯形
∴AC=BD
∵AB∥CD
∴DBEC是平行四边形
∴BE=CD
∴AE=AB+BE=AB+CD=34（4分）
∵CE⊥ACAC=BD=CE
∴△ACE是等腰直角三角形
∴△ACF、△ECF是等腰直角三角形
∴CF=AF=EF=

1

2

×34=17（6分）
在RT△CBF中BF=

BC2-CF2

=

(13 2 )2-172

=7
又BF=

1

2

（AB-CD）=7
∴AB-CD=14
∵AB+CD=34
∴AB=24CD=10
即a=24、b=10（8分）

点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用．解题关键是作辅助线，这是等腰梯形中常见的一种作法，要熟练掌握．