Question

9．如图，在△ABC中，AB=BC=4，S_△ABC=4$\sqrt{3}$，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥BC时PK+QK的最小值，然后求解即可．

解答 解：如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵AB=CB=4，S_△ABC=4$\sqrt{3}$，
∴AH=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠HAB=$\frac{AH}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠HAB=30°，
∴∠ABH=60°，
∴∠ABC=120°，
∵∠BAC=∠C=30°，
作点P关于直线AC的对称点P′，
过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
则P′Q 的长度=PK+QK的最小值，
∴∠P′AK=∠BAC=30°，
∴∠HAP′=90°，
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，
∴四边形AP′QH是矩形，
∴P′Q=AH=2$\sqrt{3}$，
即PK+QK的最小值为2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，矩形的性质，解直角三角形，熟记利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．