Question

【题目】已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．

(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，则BE与AF的数量关系是　 　．

(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么上述结论还成立吗？请利用图②说明理由．

Answer 1

【答案】(1)BE=AF；(2)结论成立．理由见解析

【解析】

(1)证明△BDE≌△ADF(ASA)，即可得出结论；

(2)证明△BDE≌△ADF(ASA)，即可得出结论．

解：(1)BE=AF，理由如下：

连接AD．如图①所示：

∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠DAF=45°，

∵∠EDF=∠BDA=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF(ASA)，

∴BE=DF；

故答案为：BE=AF．

(2)结论成立．理由如下：

连接AD，如图②所示：

∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=DC，

∴AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠DAC=45°，

∴∠DBE=∠DAF=135°，

∵∠EDF=∠BDA=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF(ASA)，

∴BE=DF．