Question

如图．已知二次函数y=-x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）把点A（4，0）代入二次函数有：
0=-16+4b+3
得：b=

13

4

所以二次函数的关系式为：y=-x²+

13

4

x+3．
当x=0时，y=3
∴点B的坐标为（0，3）．

（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4-x，
在直角△OBP中，BP²=OB²+OP²
即：x²=3²+（4-x）²
解得：x=

25

8

∴OP=4-

25

8

=

7

8

所以点P的坐标为：（

7

8

，0）
综上可得点P的坐标为（

7

8

，0）．