在直角坐标系中.O为坐标原点.点A坐标为(1.0).以OA为边在第一象限内作等边△OAB.C为x轴正半轴上的一个动点.连接BC.以BC为边在第一象限内作等边△BCD.直线DA交y轴于E点．(1)△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论,(2)随着C点的变化.直线AE的位置变化吗?若变化.请说明理由,若不变.请求出直线AE的解析式．(3)以线段BC为直径作圆.圆心为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？这时⊙F和直线BO的位置关系如何？请给予说明．
（4）若设AC=a，G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连接HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用a表示．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由等边△AOB，等边△CBD得OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，所以，∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，从而△OBC≌△ABD．
（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由为：由（1）得到的两三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，又等边三角形BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式；
（3）由EA∥OB平行，且EF∥OB平行，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切，理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据“三线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证；
（4）根据等边三角形的“三线合一”得到DF垂直平分BC，所以C与D关于DF对称，所以GB为HC+HG的最小值，GB的求法是：由B，C及G三点在圆F圆周上，得到FB，FC及FG相等，利用一边的中线等于这边的一半得到三角形BCG为直角三角形，根据“三线合一”得到∠CBG为30°，利用cos30°和BC的长即可求出BG，而BC的长需要过B作BM垂直于x轴，根据等边三角形的性质求出BM及AM，表示出CM，在直角三角形BMC中，根据勾股定理表示出BC的长即可．

解答：解：（1）全等．理由如下：
：∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，

OB=AB

∠OBC=∠ABD

BC=BD

，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=

，
则OE=

，点E坐标为（0，-

），A（1，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得：

k+b=0

b=-

，
解得：

b=-

，
所以直线AE的解析式为y=

．
综上所述，随着C点的变化，直线AE的位置不变．所以直线AE的解析式为y=

；

（3）当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；这时直线BO与⊙F相切．
证明如下：根据题意画出图形，如图所示：

∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
则EF与EA所在的直线重合，∴点F为DE与BC的交点，
又F为BC中点，∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，
∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；
这时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直线BO与⊙F相切；

（4）根据题意画出图形，如图所示：

由点B，点C及点G在圆F的圆周上得：FB=FC=FG，即FG=

BC，
∴△CBG为直角三角形，又△BCD为等边三角形，
∴BG为∠CBD的平分线，即∠CBG=30°，
过点B作x轴的垂直，交x轴于点M，由△OAB为等边三角形，
∴M为OA中点，即MA=

，BM=

，MC=AC+AM=a+

，
在Rt△BCM中，根据勾股定理得：BC=

BM2+MC2

a2+a+1

，
∵DF垂直平分BC，
∴B和C关于DF对称，
∴HC=HB，
则HC+HG=BG，此时BG最小，
在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=

3a2+3a+3

．

点评：此题综合考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质以及对称的有关知识．此题的难点是（3）和（4）小问，（3）重点要确定出点F的特殊位置即直线ED与BC的交点，把EF平行OB作为已知条件，推导点C的位置；（4）解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质找出C关于FD的对称点为B，进而得到BG为所求的最小值．

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