Question

13．如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，E为 BC 的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE． 
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若cosD=$\frac{3}{5}$，AD=6，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，欲证AD是⊙O的切线，只需证明AD⊥AB即可；
（2）解直角三角形求得AC和BD，然后根据勾股定理求得AB，证△FAG≌△FAC从而求得AG=AC=$\frac{24}{5}$；然后根据平行线分相等成比例定理即可求得FG．

解答 （1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵E为$\widehat{BC}$的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAC=2∠BAE，
∵∠D=2∠BAE，
∴∠BAC=∠D，
∴∠ABC+∠D=90°，
∴∠BAD=90°，
∴BA⊥AD，
∴AD为⊙O的切线；
（2）∵cosD=$\frac{3}{5}$，AD=6，
∴sinD=$\frac{4}{5}$，BD=$\frac{AD}{cosD}$=$\frac{6}{\frac{3}{5}}$=10，
∴AC=AD•sinD=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
在△FAG和△FAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAG=∠FAC}\\{∠AGF=∠ACF=90°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△FAG≌△FAC（AAS），
∴AG=AC=$\frac{24}{5}$，
∴BG=8-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∵FG⊥AB，DA⊥AB，
∴FG∥DA，
∴△BFG∽△BDA，
∴$\frac{FG}{AD}$=$\frac{BG}{AG}$，即$\frac{FG}{6}$=$\frac{\frac{16}{5}}{8}$，
∴FG=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．