Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y=2x²开口方向相反，形状相同，顶点坐标为（3，5）．
（1）求抛物线的关系式；
（2）求抛物线与x轴、y轴交点．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c的形状与y=2x²的相同，开口方向相反，得出a=-2，利用顶点式方程表示函数解析式；
（2）抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与y=2x²开口方向相反，形状相同，
∴a=-2．
又∵顶点坐标为（3，5），
∴y=-2（x-3）²+5=-2x²+12x-13；

（3）由（1）知，抛物线的解析式为y=-2x²+12x-13．
当y=0时，有 x₁=3+

10

2

，x₂=3-

10

2

，
则抛物线与x轴的交点坐标为：（3+

10

2

，0），（3-

10

2

，0）．
当x=0时，y=-13，
则抛物线与y轴的交点坐标是（0，-13）．

点评：主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．