Question

【题目】如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．

（1）求证：AB=CD； （2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）7.

【解析】

（1）欲证明AB=CD，只需证得=；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．

（1）证明：如图，∵AD=BC，

∴=，

∴﹣=﹣，即=，

∴AB=CD；

（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．

则AF=FD，BG=CG．

∵AD=BC，

∴AF=CG．

在Rt△AOF与Rt△COG中，

，

∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），

∴OF=OG，

∴四边形OFEG是正方形，

∴OF=EF．

设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，

在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，

解得 x=3．

则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．