Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，OC=3，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点B、P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；
（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．

解答 解：（1）设A（3，a），
把x=3代入y=2x中，得y=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=3×6=18，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{18}{x}$；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC=3，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（-3，-6），
∴B到OC的距离为6，
∴S_△ABC=2S_△ACO=2×$\frac{1}{2}$×3×6=18，
∴S_△OPC=18，
设P点坐标为（x，$\frac{18}{x}$），则P到OC的距离为|$\frac{18}{x}$|，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{18}{x}$|×3=18，解得x=$\frac{3}{2}$或-$\frac{3}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{3}{2}$，12）或（-$\frac{3}{2}$，-12）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．