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    在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，边AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点．
    （1）当矩形ABCD沿直线y=-
    12
    x+b折叠时（如图1），求点A′的坐标和b的值；
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    （2）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，
    ①求点A′的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；
    ②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将答案直接填在每种情形下的横线上）k的取值范围是
     
    ；k的取值范围是
     
    ；k的取值范围是
     
    ．
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    分析：（1）设直线y=-
    1
    2
    x+b与CD交于点E，与OB交于点F，连接A′O，则OE=b，OF=2b，设点A′的坐标为（a，1），根据△DOA′∽△OFE，所得
    DA′
    OE
    =
    DO
    OF
    ，即
    a
    b
    =
    1
    2b
    ，所以a=
    1
    2
    ．可得点A′的坐标为（
    1
    2
    ，1），连接A′E，则A′E=OE=b，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，即b2=（
    1
    2
    ）2+（1-b）2，解得b=
    5
    8
    ；
    （2）设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A′O，则OE=b，OF=-
    b
    k
    ，设点A′的坐标为（a，1）可证△DOA′∽△OFE，所以
    DA′
    OE
    =
    DO
    OF
    ，即
    a
    b
    =
    1
    -
    b
    k
    ，所以a=-k，A′点的坐标为（-k，1），连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b，根据A′E2=A′D2+DE2，得b2=（-k）2+（1-b）2，所以b=
    k2+1
    2
    ．
    （3）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，在题中图2中：-2≤k≤-1；图3中：-1≤k≤-2+
    		3
    ；图4中：-2+
    		3
    ≤k≤0．
    解答：精英家教网解：（1）如图1，设直线y=-
    1
    2
    x+b与CD交于点E，与OB交于点F，与y轴交于G点，连接A'O，则OE=b，OF=2b，设点A′的坐标为（a，1），
    ∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°，
    ∴∠DOA′=∠OFE，
    ∴△DOA′∽△OFE，
    ∴
    DA′
    OE
    =
    OD
    OF
    ，即
    a
    b
    =
    1
    2b
    ，
    ∴a=
    1
    2
    ，
    ∴点A′的坐标为（
    1
    2
    ，1），
    连接A′E，则A′E=OE=b，
    在Rt△DEA′中，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，
    即b2=（
    1
    2
    ）2+（1-b）2，
    解得b=
    5
    8
    ；

    （2）如图1，设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A'O，则：
    OE=b，OF=-
    b
    k
    ，
    设点A′的坐标为（a，1），
    ∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
    ∴∠DOA′=∠OFE，
    ∴△DOA′∽△OFE，
    ∴
    DA′
    OE
    =
    DO
    OF
    ，即
    a
    b
    =
    1
    -
    b
    k
    ，
    ∴a=-k．
    ∴A′点的坐标为（-k，1）．（7分）
    连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
    ∵A′E2=A′D2+DE2，
    ∴b2=（-k）2+（1-b）2，
    ∴b=
    k2+1
    2
    ；

    （3）在题中图2中：-2≤k≤-1；
    图3中：-1≤k≤-2+
    		3
    ；
    图4中：-2+
    		3
    ≤k≤0．
    点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
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    28、在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为8，到y轴的距离为6，且点P在第二象限，则点P坐标为
    （-6，8）
    ．

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    10、在平面直角坐标系中，点P1（a，-3）与点P2（4，b）关于y轴对称，则a+b=
    -7
    ．

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    在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．
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    （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．

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    如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为精英家教网坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
    		2
    2
    ．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

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    18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．
    （1）在图中画出所有符合要求的△A1B1C1；
    （2）若△OMN的顶点坐标分别为O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O′M′N′，若点M的对应点M′的坐标为（-1，-2），则θ=
    0°（或360°的整数倍）
    ，k=
    2
    ．

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