Question

如图（1），已知，矩形ABCD的边AD=3，对角线长为5，将矩形ABCD置于直角坐标系内，点C与原点O重合，且反比例函数的图象的一个分支位于第一象限．
①求图（1）中，点A的坐标是多少？
②若矩形ABCD从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数的图象上，如图（2），求反比例函数的表达式．
③矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AD与反比例函数图象分别交于P、Q两点，如图（3），设移动总时间为t（1＜t＜5），分别写出△PBC的面积S₁、△QDC的面积S₂与t的函数关系式，并求当t为何值时，S₂=S₁？

Answer 1

【答案】分析：①连接OA，根据勾股定理求出OD，故可得出答案；
②求出A的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出k即可；
③求出BP，根据三角形的面积公式求出S₁即可；求出t秒后A的坐标，得出Q的横坐标，代入解析式求出Q的纵坐标，求出CQ，根据三角形的面积公式求出S₂，把S₁、S₂代入得出关于t的方程，求出t的值即可．
解答：解：①连接OA，
∵OA=5，AD=3，
由勾股定理得：OD===4，
∴点A的坐标是（4，3）．

②∵4+1=5，
∴1秒后点A的坐标是（5，3），
代入y=得：3=，
∴k=15，
∴反比例函数的解析式为：y=；

③∵A在双曲线上时t=1，
∴AP=t-1，
BP=BA-AP=4-（t-1）=5-t，
∴S₁=BP×BD=×（5-t）×3=-t+，
t秒后A的坐标是（4+t，3），
把x=4+t代入y=得：y=，
∴Q的坐标是（4+t，），
∴S₂=×DC×DQ=×4×=，
即S₁=-t+，S₂=，
∵S₂=S₁，
∴=×（-t+），解得：t=3，t=-2（舍去），
∴当t=3时，S₂=S₁．
点评：点评：本题考查反比例函数综合题，涉及到点的坐标，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，熟练的运用性质进行计算是解此题的关键，主要考查了学生的计算能力和运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．