Question

12．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，n）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含n的代数式表示）；
（2）当△APD是以PA为腰的等腰三角形时，求D点坐标．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△DBM≌△PCM，得出BD=CP=4-n，得出AD=AB+BD=8-n，即可得出点D的坐标；
（2）分两种情况：①当AP=AD时，根据勾股定理得出AP²=OA²+OP²，得出方程4²+n²=（8-n）²，解方程即可求出n的值；
②当AP=DP时，点P在AD的垂直平分线上，得出OP=$\frac{1}{2}$AD，即n=$\frac{1}{2}$（8-n），解方程即可求出n的值．

解答 解：（1）∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=4，∠AOC=∠ABC=∠BCO=90°，
∴∠DBM=90°，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△DBM和△PCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠BCO}\\{BM=CM}\\{∠BMD=∠CMP}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△PCM（ASA），
∴BD=CP=4-n，
∴AD=AB+BD=8-n，
∴D的坐标为（-4，8-n）；
（2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当AP=AD时，
∵AP²=OA²+OP²，
∴4²+n²=（8-n）²，
解得：n=3，
8-n=5，
D点坐标为（-4，5）；
②当AP=DP时，点P在AD的垂直平分线上，
∴OP=$\frac{1}{2}$AD，
∴n=$\frac{1}{2}$（8-n），
解得：n=$\frac{8}{3}$，
8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
D点坐标为（-4，$\frac{16}{3}$）；
综上所述：当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，D点坐标为（-4，$\frac{16}{3}$），（-4，5）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论才能得出结果．