如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CE-EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO.
(Ⅰ)试比较EO、EC的大小,并说明理由;
(Ⅱ)令,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点,且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式;
(Ⅳ)在(Ⅲ)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)EO>EC,理由如下: 由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC,故EO>EC 2分 (Ⅱ)m为定值 ∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC)·CO ∴ 4分 (Ⅲ)∵CO=1,∴EF=EO= ∴cos∠FEC=∴∠FEC=60°, ∴ ∴△EFQ为等边三角形, 作QI⊥EO于I,EI=,IQ= ∴IO=∴Q点坐标为 ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1),Q,m=1 ∴可求得,c=1∴抛物线解析式为 8分 (Ⅳ)由(Ⅲ), 当时,<AB ∴P点坐标为∴BP=AO, 若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下: ①时,∴K点坐标为或 ②时,∴K点坐标为或 故直线KP与y轴交点T的坐标为 10分 |
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