Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧

AC

上一点，弦ED交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．若PC=PF，求证：AB⊥ED．

Answer 1

分析：作辅助线，连接OC．根据切线的性质，OC⊥PC．根据PC=PF，OC=OA，可得：∠PCF=∠PFC，∠OCF=∠OAC．在Rt△FHA中，可得：∠FHA=90°，故AB⊥ED．

解答：证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

点评：本题主要考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．