Question

作图、证明与计算
如图，在单位长度为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC中点，请按要求完成下列各题：
（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）判断四边形ABCD的形状；
（3）求sin∠ADC的值和tan∠CAE的值；
（4）求△ABC的外接圆半径和内切圆半径（保留根号）

Answer 1

分析：（1）根据题目要求结合网格画图即可；
（2）根据勾股定理求得BC=AD．则由“有一组对边平行且相等是四边形是平行四边形”得到四边形ABCD是平行四边形；
（3）在网格中利用直角三角形，先求BC²，AB²，AC²的值，再比较列出等式，判断直角三角形；把问题转化到Rt△ACF，Rt△ADC中，利用三角函数的定义解题；
（4）直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中a b为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r=

1

2

；外接圆的半径就是斜边的一半．

解答：解：（1）如图所示；

（2）四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
根据勾股定理得到BC=AD=

42+32

=5．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）由图象可知AB²=1²+2²=5，AC²=2²+4²=20，BC²=3²+4²=25，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠CAB=90°，即△ABC是直角三角形．
∵BG∥AF，F为CG的中点，
∴BC的中点E在线段AF上，
由图象可知CD=

5

，AD=5，
∴sin∠CAD=

CD

AD

=

5

5

，tan∠CAE=tan∠CAF=

2

4

=

1

2

；

（4）由（1）知，BC=5，且由（3）知，△ABC是直角三角形，BC是斜边，则△ABC的外接圆半径=

BC

2

=

5

2

；
如图，根据勾股定理得到AB=

5

，AC=2

5

，BC=5，则△ABC的内切圆半径=

1

2

×（AB+AC-BC）=

3 5 -5

2

．

点评：本题考查了圆的综合题．解题时，充分利用了勾股定理及其逆定理的运用，锐角三角函数的定义，关键是运用网格表示线段的长度．