Question

如图P是△ABC所在平面上一点．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做费马点．

（1）当△ABC是等边三角形时，作尺规法作出△ABC费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）

（2）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=．四边形CDPE是正方形，CD在AC上，CE在BC上，P是△ABC的费马点．求：P点到AB的距离．

（3）已知：锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．

Answer 1

解：（1）△ABC费马点如图所示：


（2）连接AP，BP，CP并延长交AB于Q点．

∵P是△ABC费马点，
∴∠APC=∠BPC=120°．
∵四边形CDPE是正方形，
∴∠PCD=∠PCE=45°．
∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴AP=BP．
∴CQ⊥AB．
∵∠APC=120°，
∴∠APQ=60°．
∴PQ=．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=×．
，
∴．

（3）①∵△ACE≌△ABD，
∵∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠5=60°．
②∵△ADF∽△CFP，
∴．
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°．
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°．
∴∠BPC=120°．
∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°．
∴P点为△ABC的费马点．

分析：（1）用尺规法只要作出△ABC的外心即可．
（2）连接AP，BP，CP并延长交AB于Q点，先得△ACP≌△BCP，则CQ⊥AB，由边的关系求得P点到AB的距离．
（3）①由△ACE≌△ABD可求得∠CPD的度数．②先得△ADF∽△CFP，再证得△AFP∽△CDF，最后得∠APC=∠APB=120°，则P点为△ABC的费马点．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，题目较为复杂，综合性较强．