【题目】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是抛物线上的动点,且满足,求出点的坐标;
(3)连接,点是轴一动点,点是抛物线上一动点,若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点的坐标.
备用图
【答案】(1);(2),,,;(3),,
【解析】
(1)由待定系数法求出解析式即可;
(2)先求出点C坐标,可得OA=OC=3,由面积关系列出方程即可求解;
(3)分两种情况讨论,利用平行四边形的性质可求解;
解:
(1)∵抛物线经过点A(-3,0),点B(1,0),
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为:,
∵抛物线的解析式为:,与y轴交于点C,
∴点C坐标为(0,3),
即OA=OC=3;
(2)过点P作PM⊥AO于点M,PN⊥CO于点N,
设P(,),
∵ ,
∴,
∵AO=3,CO=3,
∴PM=2PN,即,
当点P在第一、三象限时,,
解得,,;
∴,,
当点P在第二、四象限时,,
解得,;
∴,;
(3)若BC为边,且四边形BCFE是平行四边形,
∴CF∥BE,
∴点C与点F纵坐标相等,
∴,
解得,(舍去),
∴点F(-2,3),
若BC为边,且四边形BCFE是平行四边形,
∴BE与CF互相平分,
∵BE中点纵坐标为0,且点C纵坐标为3,
∴点F的纵坐标为-3,
∴,
解得,
∴,,
∴或,
若BC为对角线,则四边形BECF是平行四边形,
∴BC与EF互相平分,
∴BC中点纵坐标为,且点E的纵坐标为0,
∴点F的纵坐标为3,
∴点F(-2,3),
综上所述,点F坐标为:,,;
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【题目】如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A.C分别在x轴、y轴上,反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,垂足为D,连接OM、ON、MN.
下列结论:
①△OCN≌△OAM;
②ON=MN;
③四边形DAMN与△MON面积相等;
④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,AB为半圆的直径,点D在半圆弧上,过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C,点E在AB上,若DE垂直平分BC,则=______.
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【题目】如图,对称轴为x=1的抛物线经过A(﹣1,0),B(2,﹣3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的动点,连接PO交直线AB于点Q,当Q是OP中点时,求点P的坐标;
(3)C在直线AB上,D在抛物线上,E在坐标平面内,以B,C,D,E为顶点的四边形为正方形,直接写出点E的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点都在格点上,点A,B,C的坐标分别为A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(0,1)请解答下列问题:
(1)△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称,画出△A1B1C1并直接写出点A的对应点A1的坐标;
(2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C,并求出线段AC旋转时扫过的面积.
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【题目】按如下方法,将△ABC的三边缩小到原来的,如图,任取一点O,连结AO,BO,CO,并取它们的中点D、E、F,得△DEF;则下列说法错误的是( )
A.点O为位似中心且位似比为1:2
B.△ABC与△DEF是位似图形
C.△ABC与△DEF是相似图形
D.△ABC与△DEF的面积之比为4:1
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【题目】如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角β=60°,求树高AB(结果保留根号)
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【题目】如图,已知点C(0,3),抛物线的顶点为A(2,0),与y轴交于点B(0,1),F在抛物线的对称轴上,且纵坐标为1.点P是抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,交直线CF于点H,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在直线CF下方的抛物线上,用含m的代数式表示线段PH的长,并求出线段PH的最大值及此时点P的坐标;
(3)当PF﹣PM=1时,若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”,则存在多个“巧点”,且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”,请直接写出所有“巧点”的个数,并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H,下列结论:
①△AED≌△DFB;②S四边形 BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF
,其中正确的结论
A.只有①②.B.只有①③.C.只有②③.D.①②③.
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