分析 (1)根据角平分线的定义可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD,再根据三角形的内角和定理整理即可得解;
(2)根据角平分线的定义可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC),∠BOC=∠2-∠1,然后整理即可得解;
(3)根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB,再根据三角形的内角和定理解答;
(4)同(2)的求解思路;
(5)同(3)的求解思路.
解答 解:(1)∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC,∠ACB的角平分线,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A;
(2)探究2结论:∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A.
理由如下:∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD,
又∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A+∠1,
∵∠2是△BOC的一个外角,
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A,
即∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A;
(3)由三角形的外角性质和角平分线的定义,∠OBC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB),∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC),
在△BOC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB)-$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC),
=180°-$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC),
=180°-$\frac{1}{2}$(180°+∠A),
=90°-$\frac{1}{2}$∠A;
(4)∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(360°-∠A-∠D),
在△BOC中,∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$(360°-∠A-∠B)=$\frac{1}{2}$(∠A+∠D);
(5)∵∠A=140°,∠B=120°,∠E=90°,
∴∠BCD+∠CDE=(5-2)•180°-140°-120°-90°=190°,
∴∠PCD+∠PDC=$\frac{1}{2}$(180°×2-190°)=85°,
在△BOC中,∠BOC=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-85°=95°.
点评 本题考查了三角形的外角性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图,整体思想的利用是解题的关键.
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