Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）当A、B在直线l同侧时，如图1，
①证明：△AEC≌△CDB；
②若AE=4，BD=6，计算△ACB的面积．
（2）当A、B在直线l两侧时，如图2，若AE=a，BD=b，（b＞a），直接写出梯形ADBE的面积

是

1

2

b²-

1

2

a²

．

Answer 1

分析：（1）①求出∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，推出∠DBC=∠ACE，根据AAS推出△AEC≌△CDB即可；
②根据全等三角形性质推出BD=CE=6，在Rt△AEC中，AE=4，由勾股定理求出AC、BC，根据三角形面积根式求出即可．
（2）求出∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，推出∠DBC=∠ACE，根据AAS推出△AEC≌△CDB，推出AE=CD=a，BD=CE=b，得出S_{四边形ADBE}=S_△AED+S_△BDE=

1

2

×DE×AE+

1

2

×DE×BD，代入求出即可．

解答：（1）①证明：∵BD⊥l，AE⊥l，∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，∠DCB+∠ACE=90°，
∴∠DBC=∠ACE，
在△AEC和△CDB中，

∠ACE=∠CBD ∠AEC=∠CDB AC=BC

，
∴△AEC≌△CDB（AAS）．

②解：∵△AEC≌△CDB，
∴BD=CE=6，
∴在Rt△AEC中，AE=4，由勾股定理得：AC=

42+62

=2

15

，
∴BC=AC=2

15

，
∴△ACB的面积
是

1

2

×AC×BC=

1

2

×2

15

×2

15

=30．

（2）解：梯形ADBE的面积是

1

2

b²-

1

2

a²，
理由是：∵BD⊥l，AE⊥l，∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ACE，
在△AEC和△CDB中，

∠ACE=∠CBD ∠AEC=∠CDB AC=BC

，
∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴AE=CD=a，BD=CE=b，
∴S_{四边形ADBE}=S_△AED+S_△BDE=

1

2

×DE×AE+

1

2

×DE×BD
=

1

2

•（b-a）•a+

1

2

•（b-a）•b
=

1

2

b²-

1

2

a²，
故答案为：是

1

2

b²-

1

2

a²．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，三角形面积的应用，关键是推出△AEC≌△CDB．