Question

7．如图，⊙O的半径为r．A，B为⊙O上的两个不同点；以B为圆心．BA为半径的圆交⊙O于另一点C．P为⊙O内一点，使得△PAB为正三角形，CP交⊙O于另一点Q．
（1）求证：AB＜$\sqrt{3}$r；
（2）求证：PQ=r．

Answer 1

分析 （1）假设点P在⊙O上，求此时的正三角形的边长PB=$\sqrt{3}$r，但已知中“P为⊙O内一点”，所以AB=PB＜$\sqrt{3}$r；
（2）本题介绍两种解法：
解法一：如图2，作辅助线，证明△POQ是等腰三角形即可得出结论．
解法二：如图3，作辅助线，证明△OQA是等边三角形，则OQ=QA，根据四点共圆中，圆外角等于内对角得：∠MAB=∠BCQ=∠BPC，根据平角的定义求得：∠QPA=∠QAP，所以QP=QA，由等量代换可以得出结论QP=OQ=r．

解答 证明：（1）如图1，当P在圆O上时，过O作OG⊥AB于M，交⊙O于G，连接BG，
∴AM=BM，
∴GO是AB的中垂线，
∵△PAB是正三角形，
∴PA=PB=AB，∠PAB=60°，
∴P在GO上，
∴GP是⊙O的直径，
∴∠GBP=90°，
∵∠PGB=∠PAB=60°，
在Rt△PGB中，GP=2r，
sin60°=$\frac{PB}{GP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{PB}{2r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
PB=$\sqrt{3}$r，
∵P为⊙O内一点，
∴AB=PB＜$\sqrt{3}$r；
（2）解法一：如图2，连接OQ、OA、OB、AC、BC，
在⊙O中，∠PCA=$\frac{1}{2}$∠PBA=30°，
∵△PAB为等边三角形，
∴∠GPB=∠GPA=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
∵OA=OB，OG⊥AB，
∴∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOB，
在⊙O中，∠QOG=∠QOA+∠AOG，
=2∠QCA+∠AOG，
=60°+$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠PCA=30°，∠GPB=30°，
∴∠QOG=∠PCA+∠GPB+∠ACB=∠GPB+∠PCB，
∵BP=BC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠QOG=∠GPB+∠BPC=∠GPC=∠QPO，
∴PQ=OQ=r．
解法二：如图3，连接AC、OA、AQ、OQ、BC，延长QA交⊙B于M，
得：∠PCA=$\frac{1}{2}$∠PBA=30°，
∠O=2∠PCA=2∠QCA=60°，
∴△OQA是等边三角形，
∴OQ=QA，
∵Q、A、B、C四点共圆，
∴∠MAB=∠BCQ=∠BPC，
∵∠QPA=180°-60°-∠BPC=120°-∠BPC，
∠QAP=180°-60°-∠MAB=120°-∠BPC，
∴∠QPA=∠QAP，
∴QP=QA，
∴QP=OQ=r．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、等边三角形的性质、等腰三角形的判定、特殊的三角函数的问题，第一问中确定动点A、B运动时，AB的长度的变化范围，第二问中确定PQ与中间量半径的关系是关键，从而使问题得以解决．