Question

【题目】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，

∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三 角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线

（2）解：①当AD=CD时，如图2，

∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．

③当AC=CD时，如图4中，

∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃，∴∠ACB=96°或114°

（3）解：由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴ 设BD=x，∴ ），∵x＞0，∴x= ，∵△BCD∽△BAC，∴ = ，∴CD= ×2= ．

【解析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线性质，得到△ABC不是等腰三角形，△ACD为等腰三角形，△BCD∽△BAC，得到CD是△ABC的完美分割线；（2）由CD是△ABC的完美分割线，∠A=48°，AD=CD，根据等腰三角形的性质，求出∠ACB的度数.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．