Question

18．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与坐标轴交于A、B两点，动点P、C以1个单位每秒相同的速度同时分别沿射线AB、BO方向运动，以AP、BC为边分别作如图的两个正方形APQM、BCDE，设动点P的运动时间为t，当正方形APQM的顶点Q落在正方形BCDE的边所在的直线上时，t的值为$\frac{5}{3}$、$\frac{15}{4}$或$\frac{20}{7}$．

Answer 1

分析 首先根据直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与坐标轴交于A、B两点，求出A、B两点的坐标是多少；然后分三种情况讨论：（1）正方形APQM的顶点Q落在DE边所在的直线；（2）正方形APQM的顶点Q落在CD边所在的直线；（3）正方形APQM的顶点Q落在BC边所在的直线；求出t的值各是多少即可．

解答 解：∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与坐标轴交于A、B两点，
∴A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
（1）当正方形APQM的顶点Q落在DE边所在的直线时：
DE边所在的直线的方程是：y=t，
点P的坐标是（$\frac{3}{5}t，4-\frac{4}{5}t$），
设点Q的坐标是（a，t），
∵PQ⊥AB，
∴$\frac{t-（4-\frac{4}{5}t）}{a-\frac{3}{5}t}×（-\frac{4}{3}）=-1$…（1），
∵PQ=AP=t，
∴$\sqrt{{（4-\frac{4}{5}t-t）}^{2}{+（\frac{3}{5}t-a）}^{2}}=t$…（2），
由（1），可得a=3t-$\frac{16}{3}$…（3），
把（3）代入（2），
整理，可得9t²-45t+50=0，
解得t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{10}{3}$，
经验证，t=$\frac{10}{3}$不符合题意，
∴t=$\frac{5}{3}$．

（2）当正方形APQM的顶点Q落在CD边所在的直线时：
CD边所在的直线的方程是：x=3-t，
点P的坐标是（$\frac{3}{5}t，4-\frac{4}{5}t$），
设点Q的坐标是（3-t，b），
∵PQ⊥AB，
∴$\frac{4-\frac{4}{5}t-b}{\frac{3}{5}t-（3-t）}×（-\frac{4}{3}）=-1$…（1），
∵PQ=AP=t，
∴$\sqrt{{{[\frac{3}{5}t-（3-t）]}^{2}+（4-\frac{4}{5}t-b）}^{2}}$=t…（2），
由（1），可得b=$\frac{25}{4}-2t$…（3），
把（3）代入（2），
整理，可得48t²-240t+225=0，
解得t=$\frac{15}{4}$或t=$\frac{5}{4}$，
经验证，t=$\frac{5}{4}$不符合题意，
∴t=$\frac{15}{4}$．

（3）当正方形APQM的顶点Q落在BC边所在的直线时：
正方形APQM的边长为t，BP=5-t，
∵∠QPB=∠AOB=90°，∠PBQ=∠OBA
∴△QPB∽△AOB
∴$\frac{QP}{PB}$=$\frac{AO}{OB}$
∴$\frac{t}{5-t}=\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{20}{7}$．
综上，可得
当正方形APQM的顶点Q落在正方形BCDE的边所在的直线上时，t的值为$\frac{5}{3}$、$\frac{15}{4}$或$\frac{20}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$、$\frac{15}{4}$或$\frac{20}{7}$．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，以及两条直线相互垂直的性质的应用，要熟练掌握．