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    7．如图①，∠M0N=60°，OQ平分∠MON，点A、B在OQ上，OB=AB，AC⊥ON于点C，P是OM上一动点．

    （1）在图②中，若AP∥ON，试说明PB⊥OA．
    （2）点P在OM上运动时，若AP与ON不平行，还有使△OPA为等腰三角形的情况吗？如果有，求出此时∠PAO的度数．
    （3）在图①中随着点P的运动，PB+PA是否存在最小值？如果不存在，直接下结论；如果存在，画出图形，简要写出画法．

    分析 （1）根据角平分线的定义得到∠MOQ=∠NOQ，由平行线的性质得到∠NOQ=∠PAO，等量代换得到∠PAO=∠MOQ=∠POA，遇得到△PAO是等腰三角形，推出PB是等腰三角形底边AO上的中垂线，于是得到结论；
    （2）根据∠NOQ=∠PAO=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，当∠PAO=∠OPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°时，得到△PAO是等腰三角形，当∠POA=∠OPA=30°时，根据等腰三角形的性质得到∠PAO=180°-30°-30°=120°，于是得到结论；
    （3）存在点P使得PB+PA有最小值，根据两点之间线段最短作出图形即可．

    解答 证明：（1）∵OQ是∠MON的平分线，
    ∴∠MOQ=∠NOQ，
    ∵AP∥ON，
    ∴∠NOQ=∠PAO，
    ∴∠PAO=∠MOQ=∠POA，
    ∴△PAO是等腰三角形，
    ∵BO=AB，
    ∴PB是等腰三角形底边AO上的中垂线，
    ∴PB⊥OA；

    （2）∵∠NOQ=∠PAO=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
    当∠PAO=∠OPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°时，
    ∴△PAO是等腰三角形，
    当∠POA=∠OPA=30°时，
    ∵△PAO是等腰三角形，
    ∴∠PAO=180°-30°-30°=120°，
    ∴存在点P，使得PA不平行NO，并且使得△PAO是等腰三角形，
    即；∠PAO=75°或120°；

    （3）存在点P使得PB+PA有最小值，
    画法：作点A关于OM的对称点A′，
    连接A'B交OM于点P，
    则点P即为所求点，使得PB+PA有最小值是A'B．

    点评 本题考查了角平分线的性质，轴对称-最短距离问题，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

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