Question

如图，已知一次函数y=-3x-3的图象分别与坐标轴相交于A、C两点，且OB=OC，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方的抛物线上一个动点，连接CD、BD，则△DBC是否有最大面积？若有，求出△DBC的最大面积和此时D点的坐标；若没有，请说明理由．
（3）若P是y轴上的动点，Q是抛物线上的动点，请直接写出以点P、Q、A、B为顶点构成平行四边形的点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用已知得出B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，进而得出S_△DBC=

1

2

DN×OB=

3

2

（-m²+3m）=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，求出最值以及D点坐标即可；
（3）利用分类讨论①当AB为四边形ABCD的一边，②当AB为四边形ABCD的对角线，分别求出即可．

解答：解：（1）∵一次函数y=-3x-3的图象分别与坐标轴相交于A、C两点
∴A（-1，0），C（0，-3）
又∵OB=OC，
∴B（3，0），
由题意可得抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），过点A、B、C

c=-3 a-b-3=0 9a+3b-3=0

      
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）设经过点B（3，0）、C（0，-3）的直线为y=kx+b
得

b=-3 3k-3=0

解得：

k=1 b=-3

，
  即直线BC的解析式y=x-3，
如图1，过点D作DN⊥x轴交BC于点N，
设点D（m，m²-2m-3），N（m，m-3）（0≤m≤3），
∴DN=|m²-2m-3|-|m-3|
=-（m²-2m-3）-[-（m-3）]
=-m²+3m，
∴S_△DBC=

1

2

DN×OB=

3

2

（-m²+3m）=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
又∵a=-

3

2

＜0，即△DBC有最大面积，
当m=

3

2

时，S_△DBC最大=

27

8

，
∴D（

3

2

，-

15

4

）
（注：用其它方法解答的，请根据此标准酌情给分）；

（3）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
①当AB为四边形ABCD的一边，则PQ=AB=4，
∵P在y轴上，
∴Q点横坐标为：±4，
当横坐标为：4，则纵坐标为：y=x²-2x-3=16-2×4-3=5，
当横坐标为：-4，则纵坐标为：y=x²-2x-3=16-2×（-4）-3=21，
②当AB为四边形ABCD的对角线，如图2所示，
过点Q作QE⊥AB于点E，
∵AO=1，
∴BE=1，
∴Q点横坐标为：（2，x²-2x-3），
∴y=x²-2x-3=-3，
∴Q₃（2，-3），
∴存在满足条件的符合要求的点Q的坐标为：Q₁（4，5），Q₂（-4，21），Q₃（2，-3）．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及平行四边形的判定定理，利用数形结合以及分类讨论得出F点的坐标是解题关键．