Question

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），若x₁＜2，x₂＞2，x₁+x₂＞4，试判断y₁与y₂的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；
（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；
（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．

解答 解：（1）抛物线 y=-x²+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．
∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．
∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x²-6x-5．
（2）如图1，
依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x²+bx．
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{b}{2}$，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．
∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（$\frac{b}{2}$，-$\frac{{b}^{2}}{4}$+$\frac{{b}^{2}}{2}$），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴$\frac{b}{2}$=-$\frac{{b}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}}{2}$
∴b=2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）如图2，
当m=4时，抛物线表达式为：y=-x²+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x=2．
∵点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）在抛物线上，
且x₁＜2，x₂＞2，
∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．
∵x₁+x₂＞4，
∴2-x₁＜x₂-2，
∴点P到直线x=2的距离比
点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，
∴y₁＞y₂．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，平移的性质，顶点坐标的确定，函数值大小的确定，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质，是一道中等难度的中考常考题．