如图.抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A.交y轴于点C.点D是线段OB上一动点.连接CD.将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE.过点E作直线l⊥x轴.垂足为H.过点C作CF⊥l于F.连接DF.CE交于点G．(1)求抛物线解析式,(2)求线段DF的长,(3)当DG=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$时.①求tan∠CGD的值,②试探究在x轴上方的抛物线上.是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．如图，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（-1，0）和B（5，0），交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF，CE交于点G．
（1）求抛物线解析式；
（2）求线段DF的长；
（3）当DG=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$时，
①求tan∠CGD的值；
②试探究在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使∠EDP=45°？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）把A点和B点坐标代入y=ax²+bx+3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可得到抛物线解析式；
（2）如图1，先求出C点坐标，再根据旋转的性质得到CD=DE，∠CDE=90°，再证明△OCD≌△HDE得到HD=OC=3，接着说明四边形OCFH为矩形得到HF=OC=3，然后利用勾股定理计算DF；
（3）①利用△CDE和△DFH都是等腰直角三角形得到∠DCE=45°，∠DFH=45°，于是有∠DFC=45°，则可证明△DCG∽△DFC，根据相似的性质得$\frac{CD}{DF}$=$\frac{DG}{DC}$，∠DGC=∠DCF，接着利用相似比可计算出CD=$\sqrt{10}$，利用∠DCF=∠2得到∠CGD=∠2，然后在Rt△OCD中求出∠2的正切值即可得到tan∠CGD的值；
②根据△DCG∽△DFC得到HD=OC=3，EH=OD=1，则E（4，1），取CE的中点M，如图2，利用线段的中点坐标公式得到M（2，2），根据等腰直角三角形的性质判断DP经过CE的中点M，接下来利用待定系数法求出直线DP的解析式为y=2x-2，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}{x}^{2}+\frac{12}{5}x+3}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$可得P点坐标．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（-1，0）和B（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{25a+5b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3；
（2）当x=0时，y=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3=3，则C（0，3），如图1，
∵CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
∵∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△OCD和△HDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOC=∠EHD}\\{∠1=∠3}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HDE，
∴HD=OC=3，
∵CF⊥BF，
∴四边形OCFH为矩形，
∴HF=OC=3，
∴DF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
（3）①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如图1，
∴∠DCE=45°，∠DFH=45°，
∴∠DFC=45°，
而∠CDG=∠FDC，
∴△DCG∽△DFC，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{DG}{DC}$，∠DGC=∠DCF，
即$\frac{CD}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{3}}{CD}$，解得CD=$\sqrt{10}$，
∵CF∥OH，
∴∠DCF=∠2，
∴∠CGD=∠2，
在Rt△OCD中，OD=$\sqrt{C{D}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{3}^{2}}$=1，
∴tan∠2=$\frac{OC}{OD}$=3，
∴tan∠CGD=3；
②∵OD=1，
∴D（1，0），
∵△OCD≌△HDE，
∴HD=OC=3，EH=OD=1，
∴E（4，1），
取CE的中点M，如图2，则M（2，2），
∵△DCE为等腰直角三角形，∠EDP=45°，
∴DP经过CE的中点M，
设直线DP的解析式为y=mx+n，
把D（1，0），M（2，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线DP的解析式为y=2x-2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}{x}^{2}+\frac{12}{5}x+3}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+2\sqrt{19}}{3}}\\{y=\frac{4\sqrt{19}-4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-2\sqrt{19}}{3}}\\{y=\frac{-4\sqrt{19}-4}{3}}\end{array}\right.$（舍去），
∴P点坐标为（$\frac{1+2\sqrt{19}}{3}$，$\frac{4\sqrt{19}-4}{3}$）．

点评本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，能通过解方程组求抛物线与直线的交点坐标；会运用三角形全等的知识证明线段相等，利用相似比求线段的长．

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