Question

12．如图，在矩形ABCD中，下列结论不正确的是（　　）

• A． △AOB的等腰三角形
• B． S_△ABO=S_△ADO
• C． AC⊥BD
• D． 当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形

Answer 1

分析 依据矩形的对角线的性质可证明OA=OB，故此可对A作出判断，证明用含AB、AD的式子表示△ABO和△ADO的面积，从而可判断B，依据矩形的对角线的性质可对C作出判断，可证明AB=AD，从而可证明ABCD为正方形，故此可对D作出判断．

解答 解：∵ABCD为矩形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC，BD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD．
∴OA=OB．
∴A正确，与要求不符．
如图所示：取AB、AD的中点F、E．

∵AF=BF，AO=OC，
∴FO是△ABC的中位线．
∴OF∥BC，OF=$\frac{1}{2}$BC．
∵BC⊥AB，FO∥BC，
∴OF⊥AB．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•FO=$\frac{1}{4}$AB•CB．
同理：S_△ADO=$\frac{1}{4}$AB•CB．
∴S_△AOB=S_△ADO．
∴B正确，与要求不符．
∵矩形的对角线不一定相互垂直，
∴C错误，与要求相符．
∵∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AD=AB．
又∵ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形．
∴D正确，与要求不符．
故选：C．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判断，将△AOB和△AOD的面积转化为矩形面积的$\frac{1}{4}$是解题的关键．