Question

拓展探索．
如图，在△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，点P从点B开始沿BC边向C以1cm/s的速度移动，点Q从C点开始沿CA边向点A以2cm/s的速度移动．
（1）求⊙O的半径；
（2）若P、Q分别从B、C同时出发，当Q移动到A时，P点与⊙O是什么位置关系？
（3）若P、Q分别从B、C同时出发，当Q移动到A时，移动停止，则经过几秒，△PCQ的面积等于5cm²？

Answer 1

解：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，⊙O的半径为Rcm，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF，即点D、E、F为切点，
而∠C=90°，
∴四边形OECF为正方形，
∴CF=CE=OE=R，
∴BF=BC-CF=6-R，AE=8-R，
在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，CA=8cm，
∴AB==10cm，
∵BD=BF=6-E，AD=AE=8-R，
∴AB=BD+AD=6-R+8-R=10，
∴R=2，
即⊙O的半径为2cm；

（2）∵点Q移动到A所用的时间==4（秒），
而P、Q分别从B、C同时出发，
∴点P在BC上移动的距离=4×1=4cm，
∵CF=2cm，
∴BF=6cm-2cm=4cm，
∴P点移动到了F点，
而OF=2cm，
∴P点在⊙O上；
（3）设经过t秒，△PCQ的面积等于5cm²，则BP=t，PC=6-t，CQ=2t，
根据题意得（6-t）•2t=5，
解得t₁=1，t₂=5（舍去），
∴经过1秒，△PCQ的面积等于5cm²．
分析：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，⊙O的半径为Rcm，根据切线的性质得OD=OE=OF，即点D、E、F为切点，易得四边形OECF为正方形，则CF=CE=OE=R，所以BF=6-R，AE=8-R，再利用勾股定理计算出AB=10cm，于是BD+AD=6-R+8-R=10，然后解方程即可得到R的值；
（2）先根据速度公式计算出点Q移动到A所用的时间为4秒，则点P在BC上移动的距离=4cm，易得P点移动到了F点，然后根据点与圆的位置关系可判断P点与⊙O是什么位置关系；
（3）设经过t秒，△PCQ的面积等于5cm²，根据三角形面积公式得到（6-t）•2t=5，然后解一元二次方程求出t，然后根据Q移动到A时，移动停止可确定的值．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线的性质、切线长定理和点与圆的位置关系；会利用勾股定理进行几何计算；能运用方程的思想解决问题．