Question

设△ABC是边长为1的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B、C到l的距离记为d₁，d₂，求d₁+d₂的最大值．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：首先根据题意作出图形，延长BA到B′，使AB′=AB，连接B′C，则过顶点A的直线l与BC相交或者与B′C相交，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AE′⊥BC′于点E′，然后分别从若直线l与BC相交于点D与若直线l′与BC′相交于点D′去分析求解即可求得答案．

解答：解：如图，延长BA到B′，使AB′=AB，连接B′C，则过顶点A的直线l与BC相交或者与B′C相交．
过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AE′⊥BC′于点E′，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴AE=

3

2

，AB′=AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACB′=30°，
∴∠BCB′=90°，
∴四边形AECE′是矩形，
∴AE′=CE=

1

2

BC=

1

2

；
（1）若直线l与BC相交于点D，则由

1

2

（d₁+d₂）•AD=S_△ADB+S_△ADC=S_△ABC=

3

4

×1²=

3

4

，
∴d₁+d₂=

3 2

AD

≤

3 2

AE

=

3 2

3 2

=1，当且仅当l⊥BC时取等号；
（2）若直线l′与BC′相交于点D′，则由

1

2

（d₁+d₂）•AD′=S_△AD′B+S_△AD′C=S_△AD′B′+S_△AD′C=S_△AB′C=S_△ABC=

3

4

×1²=

3

4

，
∴d₁+d₂=

3 2

AD′

≤

3 2

AE′

=

3 2

1 2

=

3

，当且仅当l′⊥BC′时取等号；
综上可得：d₁+d₂的最大值为

3

．

点评：此题考查了三角形的边角关系以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．