Question

3．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，若AB=AD，∠A=60°，则四边形ABCD是“准筝形”．
（1）如图2，CH是△ABC的高线，∠A=45°，∠ABC=120°，AB=2．求CH；
（2）在（1）条件下，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积；
（3）如图3，四边形ABCD中，BC=2，CD=4，AC=6，∠BCD=120°，且AD=BD，试判断四边形ABCD是不是“准筝形”，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用直角三角形的性质表示出HC，以及AH的长进而求出答案；
（2）分别利用①AB=AD=2，∠BAD=60°，②BC=BD=2$\sqrt{3}$+2，∠BCD=60°，③AD=CD=AC=$\sqrt{2}$HC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，∠ADC=60°分别求出答案；
（3）首先延长BC至点E，使CE=CD=4，进而求出△ACD≌△BED（SSS），进而求出△ABD是等边三角形，得出四边形ABCD是“准筝形”．

解答 解：（1）如图2-1，设BH=x，
∵∠ABC=120°，CH是△ABC的高线，
∴∠BCH=30°，
∴HC=$\sqrt{3}$x，
又∵∠A=45°，
∴HA=HC，
∵AB=2，∴$\sqrt{3}$x=2+x，
解得：x=$\sqrt{3}$+1，
∴HC=$\sqrt{3}$x=3+$\sqrt{3}$；

（2）在（1）条件下，四边形ABCD的面积是：3+2$\sqrt{3}$，9+5$\sqrt{3}$或12+7$\sqrt{3}$．
①如图2-2，AB=AD=2，∠BAD=60°，
作CG垂直BD的延长线于点G，则BD=2，
易得：∠CBG=60°=∠CBH，
在△CBG和△CBH中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CGB=∠CHB}\\{∠CBG=∠CBH}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△CBH（AAS），
∴GC=HC=3+$\sqrt{3}$，
作AK⊥BD于K，则易得：AK=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，S_△CBD=$\frac{1}{2}$×2×（3+$\sqrt{3}$）=3+$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=3+2$\sqrt{3}$；

②如图2-3，BC=BD=2$\sqrt{3}$+2，∠BCD=60°，
作CG垂直BD的延长线于点G，则BD=2$\sqrt{3}$+2，
易得：CG=3+$\sqrt{3}$，易得：AK=$\sqrt{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×（3+$\sqrt{3}$）（2+2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$+6，S_△ABD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（2+2$\sqrt{3}$）=3+$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=9+5$\sqrt{3}$；

③如图2-4，AD=CD=AC=$\sqrt{2}$HC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，∠ADC=60°，
作DM⊥AC于M，
易得：DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×（3+$\sqrt{3}$）=3+$\sqrt{3}$，
S_△ADC=$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）×$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{3}$+9，
∴S_{四边形ABCD}=12+7$\sqrt{3}$；

（3）四边形ABCD是“准筝形”．
理由：如图3，延长BC至点E，使CE=CD=4，连结DE，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴ED=CD=4，∠CDE=60°，
∵BC=2，CE=CD=4，AC=6，
∴AC=EB，
在△ACD和△BED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{AC=EB}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BED（SSS），
∴∠ADC=∠BDE，
∴∠ADB=∠CDE=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠BAD=60°，
∴四边形ABCD是“准筝形”．

点评 此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和直角三角形的性质等知识，正确利用“准筝形”的定义结合分类讨论求出是解题关键．