Question

如图，△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，ÐDOC=2ÐACD=90°．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）如果ÐACB=75°，⊙O的半径为2，求BD的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45⁰，又∠ACD=45⁰，所以∠ACO=90⁰，得证；（2）如果∠ACB=75⁰，∠ACD=30⁰，则∠BCD=30°。作DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解，先求求DE，最后求BD得解.

试题解析：（1）∵OD=OC，∠DOC=90⁰，∴∠ODC=∠OCD=45^°.

∵∠DOC=2∠ACD=90⁰，∴∠ACD=45°.

∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90⁰.

∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线.

（2）∵OD=OC=2，∠DOC=90⁰，∴CD=2.

∵∠ACB=75⁰，∠ACD=45⁰，∴∠BCD=30°.

作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90⁰，

∴DE=DCsin30⁰=.

∵∠B=45⁰，∴DB=2.

考点：1.等腰直角三角形的性质；2.切线的判定；3.锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值.