Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角AC上，以OA长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，AE=7，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：连OE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠3=∠1，∠2+∠5=90°，
而OA=OE，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，∠4=∠2，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠OEC=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：连EF，
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°，
∵∠ACB=∠3，
∴tan∠3=tan∠ACB=，
在Rt△AEF中，
∵tan∠3=，
而AE=7，
∴EF=7×=，
即⊙O的直径为AF==．
分析：（1）连OE，由四边形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE是⊙O的切线；
（2）连EF，由AF是直径，根据直径所对的圆周角为90度得到∠AEF=90°，而∠ACB=∠3，则tan∠3=tan∠ACB=，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义即可得到AF的长即⊙O的直径．
点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了矩形的性质和三角函数的定义以及圆周角定理的讨论．