分析 (1)①根据矩形的性质得到∠B=∠C=90°,AB=CD.根据全等三角形的性质得到∠APB=∠DQG.推出△MEP≌△NPQ,由全等三角形的性质即可得到ME=NF;②根据矩形的判定定理得到四边形EFMN是矩形,由矩形的性质得到结论;
(2)证明△EMP∽△MAG,根据相似三角形的对应边的比相等,以及矩形的性质即可求解;
(3)设PM、PN分别交AD于点E、F,证明△PEF∽△PMN,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
解答 解:(1)①∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,AB=CD.
∵在△ABP和△DCQ中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△DCQ,
∴∠APB=∠DQG.
∴∠MPE=180°-2∠APB=180°-2∠DQC=∠NQF.
∴在△MEP和△NPQ中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠NQF}\\{∠MEP=∠NPQ}\\{MP=NQ}\end{array}\right.$,
∴△MEP≌△NPQ,
∴ME=NF;
②∵ME∥NF,ME=NF,
∴四边形EFMN是矩形,
∴MN∥BC;
(2)延长EM、FN交AD于点G、H,
∵AB=4,BP=3,
∴AM=4,PM=3.
∵AD∥BC,
∴EM⊥AD.
∵∠AMP=∠MEP=∠MGA,
∴∠EMP=∠MAG.
∴△EMP∽△MAG.
∴$\frac{AG}{EM}$=$\frac{MG}{EP}$=$\frac{AM}{MP}$=$\frac{4}{3}$,
设AG=4a,MG=3b.
∵四边形ABEG是矩形,
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=3b+3}\\{3a+4b=4}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{24}{25}}\\{b=\frac{7}{25}}\end{array}\right.$,
∴AG=$\frac{96}{25}$,同理DH=$\frac{96}{25}$.
∴MN=$\frac{108}{25}$;
(3)设PM、PN分别交AD于点E、F.
∵∠EPA=∠APB=∠PAE,
∴EA=EP.
设EA=EP=x,
在直角△AME中,42+(6-x)2=x2,
解得:x=$\frac{13}{9}$,
∴EF=12-2×$\frac{13}{3}$=$\frac{10}{3}$,
∵EF∥MN,
∴△PEF∽△PMN,
∴$\frac{EF}{MN}$=$\frac{PE}{PM}$,即$\frac{\frac{10}{3}}{MN}=\frac{\frac{13}{3}}{6}$,
解得:MN=$\frac{60}{13}$.
点评 本题考查了图形的折叠,矩形的判定和性质,以及全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质,注意在求线段的长时常用的方法是利用相似和解直角三角形.
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A. | y=3(x-2)2+2 | B. | y=3(x+2)2-2 | C. | y=3(x-2)2+2 | D. | y=3(x+2)2+2 |
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A. | 30,27 | B. | 30,29 | C. | 29,30 | D. | 30,28 |
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