Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在⊙O的切线CM上取一点P，使得∠CPB=∠COA．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若CD=6，∠AOC=60°，求PB的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6

【解析】

（1）根据切线的性质和四边形的内角和即可得出∠PBO=90°，进而证得结论；

（2）解法1：连接OP，先根据垂径定理和30°的直角三角形的性质求出半径OC的长，即为OB的长，再利用四边形的内角和和切线长定理求出∠BPO的度数，进一步即可求出PB的长；

解法2：连接BC，先证明△PBC是等边三角形，再在直角△BCE中求出BC的长即可.

（1）证明： ∵ PC与⊙O相切于点C，∴ OC⊥PC，∴ ∠OCP=90°．

∵ ∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180°，

∴ ∠BOC+∠CPB=180°．

在四边形PBOC中，∠PBO=360°－∠CPB－∠BOC－∠PCO=90°．

∴ 半径OB⊥PB，∴ PB是⊙O的切线；

（2）解法1：连接OP，如图．

∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°．

∵ ∠OCP=∠OBP=90°，∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°．

∵ PB，PC都是⊙O的切线，∴ PO平分∠BPC，∴∠CPO=∠BPO=30°．

∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，CD=6，∴，

∵∠AOC=60°，CD⊥AB，∴∠ACO=30°，=OB．

∴PB= OB·=·= 6．

解法2：连接BC，如图．

∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，

∵ ∠OCP=∠OBP=90°，∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°，

∵ PB，PC都是⊙O的切线，∴ PB=PC，

∴ △PBC为等边三角形，∴PB=BC．

∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，CD=6，∴，

∵∠AOC=60°，CD⊥AB，∴∠ABC=30°，

∴BC=2CE=6，∴PB= BC= 6．