练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    1．已知：在Rt△OAB中，∠OAB=90°，若以D为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，点C（3，4）．
    （1）求经过点O，C，A三点的抛物线解析式．
    （2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，求点M到OC的最大距离．
    （3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOA？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）过点C作CD⊥x轴于点D，利用勾股定理可得CO=5，然后根据折叠的性质可知AO=5，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
    （2）首先确定OC的解析式，进而确定平行于OC的直线解析式，然后联立解析式，得出关于m的方程，利用判别式为0求出m的值，再利用∠OCD的正弦求解，可得结论；
    （3）分当P在x轴上方，当P在x轴下方两种情况讨论可得点P的坐标．

    解答 解：（1）如图所示：过点C作CD⊥x轴于点D，
    ∵C（3，4），
    ∴DO=3，DC=4，
    ∴CO=5，
    ∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
    ∴AO=5，
    设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
    则$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{9a+3b+c=4}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
    故抛物线解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{10}{3}$x；

    （2）∵C（3，4），
    ∴直线OC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
    设点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线解析式为y=$\frac{4}{3}$x+m，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+m}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
    消掉未知数y并整理得2x2-6x+3m=0，
    △=（-6）2-24m=0，
    解得：m=$\frac{3}{2}$．
    设点M到OC的最大距离为x，
    ∵∠NOM=∠OCD，
    ∴sin∠OCD=sin∠NOM=$\frac{3}{5}$，
    则$\frac{x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
    解得x=$\frac{9}{10}$；

    （3）AC的中点坐标为（4，2），
    则直线OB解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{17}{4}}\\{{y}_{2}=\frac{17}{8}}\end{array}\right.$，
    当P在x轴上方，点P的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{8}$）；
    当P在x轴上方，
    B的坐标为（5，$\frac{5}{2}$），
    AP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{3}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{23}{8}}\end{array}\right.$，
    点P的坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{23}{8}$）．
    综上所述，存在一点P（$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{8}$）或（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{23}{8}$），使∠OAP=∠BOA．

    点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了图形的翻折变换，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，直线与抛物线的交点的求法等知识，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．解方程：x2-（$\sqrt{3}$﹢1）x+$\sqrt{3}$=0．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．甲，乙单独完成某项工程所用的时间比为3：4，现甲，乙先合作9天后，余下的由乙队单独做还要19天，问甲，乙单独完成这项工程各要几天？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    5．已知y与x-4成正比例，且当x=2时，y=-6，则y=9时，x=7．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    12．若$\sqrt{15}$=a，$\root{3}{37}$=b，则$\sqrt{0.15}$=$\frac{1}{10}$a，$\root{3}{37000}$=10b．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为边长构造如下正方形：

    再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成矩形并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如表所示：
    序号①②③④
    周长6101626
    若按此规律继续作矩形，则序号为⑥的矩形周长是68．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，…，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题．
    （1）将下表填写完整；
    操作次数N12345…n
    正方形个数4710an
    （2）an=3n+1（用含n的代数式表示）；
    （3）按照上述方法，能否得到2015个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    10．将函数y=-3x2-1的图象向上平移2个单位，得到函数y=-3x2+1的图象．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．用代入法解下列方程组：
    （1）$\left\{\begin{array}{l}{m=n+2}\\{2m+3n=14}\end{array}\right.$；
    （2）$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=5}\\{3x-2y=1}\end{array}\right.$．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案