Question

6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-2x²+bx+c经过点A（0，2），B（3，-4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，进而利用公式求得对称轴解析式；
（2）求得C的坐标以及二次函数的最大值，求得CB与对称轴的交点即可确定t的范围．

解答 解：（1）抛物线y=-2x²+bx+c经过点A（0，2），B（3，-4），代入得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-18+3b+c=-4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-2x²+4x+2，
对称轴为直线x=1；
（2）由题意得 C（-3，4），二次函数y=-2x²+4x+2的最大值为4．
由函数图象得出D纵坐标最大值为4．
因为点B与点C关于原点对称，所以设直线BC的表达式为y=kx，
将点B或点C 与的坐标代入得，$k=-\frac{4}{3}$．
∴直线BC的表达式为$y=-\frac{4}{3}x$．
当 x=1时，$y=-\frac{4}{3}$．
∴t的范围为$-\frac{4}{3}≤t≤4$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，结合图象确定t的范围是关键．