Question

如图 所示，抛物线y=x²-4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求线段AC的长；
（2）求tan∠CBA的值；
（3）连接AC，试问在x轴左侧否存在点Q，使得以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=x²-4x+3=0，
解得x=1或3，
∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0），
令x=0得y=3，
∴C点的坐标为（0，3），
∴AC===；

（2）∵A点的坐标为（1，0），C点的坐标为（0，3），
∴OA=3，OC=3，
∴tan∠CBA===1；

（3）设Q点的坐标为（x，0），
∵Q点在x轴左侧否，
∴OQ=-x，
当△QOC∽△AOC时，
∴，
即：，
∴x=-3，
∴此时Q点的坐标为（-3，0）；
当△CQO∽△ACO
∴，
即：
解得x=-9，
∴此时Q点的坐标为（-9，0）
∴在Y轴左侧否存在点Q（-3，0）和（-9，0），使得以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似．
分析：（1）分别令x=0和y=0求得A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3），据此可以求得AC的长；
（2）线段OC的长除以线段OB的长即为tan∠CBA的值；
（3）设Q点的坐标为（x，0），利用以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似即可得到有关x的方程，求得x的值即可求得Q点的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还涉及到了相似三角形的判定及性质，是一道比较不错的综合性题目．