Question

【题目】如图1，P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA=PB．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）若点A（8，0），求点B的坐标；
（3）求OA﹣OB的值；
（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，

∵P（2，2），

∴PE=PF=2，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

，

∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），

∴∠APE=∠BPF，

∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，

∴PA⊥PB

（2）解：易得四边形OEPF是正方形，

∴OE=OF=2，

∵A（8，0），

∴OA=8，

∴AE=OA﹣OE=8﹣2=6，

∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE=BF=6，

∴OB=BF﹣OF=6﹣2=4，

∴点B的坐标为（0，﹣4）

（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE=BF，

∵AE=OA﹣OE=OA﹣2，

BF=OB+OF=OB+2，

∴OA﹣2=OB+2，

∴OA﹣OB=4

（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，

同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE=BF，

∵AE=OA﹣OE=OA﹣2，

BF=OF﹣OB=2﹣OB，

∴OA﹣2=2﹣OB，

∴OA+OB=4

【解析】（1）过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE=PF=2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE=∠BPF，然后求出∠APB=∠EPF=90°，再根据垂直的定义证明；（2）求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可；（3）根据全等三角形对应边相等可得PE=PF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；（4）同（3）的思路求解即可．