Question

已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P．设⊙O的半径为r．
（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE•OP=r²；
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．由FQ是⊙O直径得到∠QFD+∠Q=90°，又由CD⊥AB得到∠P+∠C=90°，然后利用已知条件即可得到∠QFD=∠P，然后即可证明△FOE∽△POF，最后利用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立． 如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM．由FM是⊙O直径得到∠M+∠CFM=90°，又由CD⊥AB，得到∠E+∠D=90°，接着利用已知条件即可证明∠CFM=∠E，然后利用已知条件证明△POF∽△FOE，最后利用相似三角形的性质即可证明题目的结论．

解答：（1）证明：如图1，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．
∵FQ是⊙O直径，
∴∠FDQ=90°．
∴∠QFD+∠Q=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠C=90°．
∵∠Q=∠C，
∴∠QFD=∠P．
∵∠FOE=∠POF，
∴△FOE∽△POF．
∴

OE

OF

=

OF

OP

．
∴OE•OP=OF²=r²．

（2）解：（1）中的结论成立．
理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM．
∵FM是⊙O直径，
∴∠FCM=90°，
∴∠M+∠CFM=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠E+∠D=90°．
∵∠M=∠D，
∴∠CFM=∠E．
∵∠POF=∠FOE，
∴△POF∽△FOE．
∴

OP

OF

=

OF

OE

，
∴OE•OP=OF²=r²．

点评：此题分别考查了相似三角形的性质与判定、垂径定理及圆周角定理，同时也考查了简单的作图问题，解题的关键是充分利用相似三角形的性质证明题目的结论．