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    （2013•龙岩）如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=
    k
    x
    （k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
    （1）若S△OCF=
    		3
    ，求反比例函数的解析式；
    （2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
    （3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；
    （2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；
    （3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．
    解答：解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
    ∴S△OCF=
    1
    2
    xy=
    		3
    ，
    ∴xy=2
    		3
    ，
    ∴k=2
    		3
    ，
    ∴反比例函数解析式为y=
    2
    		3
    x
    （x＞0）；

    （2）该圆与y轴相离，
    理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

    在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
    设OH=m，则tan∠AOB=
    EH
    OH
    =
    		3
    ，
    ∴EH=
    		3
    m，OE=2m，
    ∴E坐标为（m，
    		3
    m），
    ∵E在反比例y=
    2
    		3
    x
    图象上，
    ∴
    		3
    m=
    2
    		3
    m
    ，
    ∴m1=
    		2
    ，m2=-
    		2
    （舍去），
    ∴OE=2
    		2
    ，EA=4-2
    		2
    ，EG=
    		2
    ，
    ∵4-2
    		2
    ＜
    		2
    ，
    ∴EA＜EG，
    ∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离；

    （3）存在．
    假设存在点F，使AE⊥FE，
    过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
    ∵△AOB是等边三角形，
    ∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

    ∴BC=FB•cos∠FBC=
    1
    2
    x，FC=FB•sin∠FBC=
    		3
    2
    x，
    ∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-
    1
    2
    x，
    ∵AE⊥FE，
    ∴AE=AF•cosA=2-
    1
    2
    x，
    ∴OE=OA-AE=
    1
    2
    x+2，
    ∴OH=OE•cos∠AOB=
    1
    4
    x+1，EH=OE•sin∠AOB=
    		3
    4
    x+
    		3
    ，
    ∴E（
    1
    4
    x+1，
    		3
    4
    x+
    		3
    ），F（4-
    1
    2
    x，
    		3
    2
    x），
    ∵E、F都在双曲线y=
    k
    x
    的图象上，
    ∴（
    1
    4
    x+1）（
    		3
    4
    x+
    		3
    ）=（4-
    1
    2
    x）•
    		3
    2
    x，
    解得：x1=4，x2=
    4
    5
    ，
    当BF=4时，AF=0，
    BF
    AF
    不存在，舍去；
    当BF=
    4
    5
    时，AF=
    16
    5
    ，BF：AF=1：4．
    点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．
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    70°
    70°
    ．

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    （2013•龙岩）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
    （1）求证：AE=CF；
    （2）求证：四边形EBFD是平行四边形．

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    （2013•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=
    		3
    +1，AD=
    		3
    ．
    （1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为
    		6
    		6
    ；
    （2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为
    		3
    -
    1
    2
    		3
    -
    1
    2
    ；
    （3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
    （1）求菱形ABCD的周长；
    （2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
    （3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

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