Question

如图，已知点A、B是⊙O外两个相异的点，点P在⊙O上，PA、PB分别与圆O交于异于点P的点D、C，且AD•AP=BC•BP．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）设p为质数，m为正整数，若AD•AP=p（2p+1），OA=m-1，⊙O的半径为3，求OA的长度．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）延长AO交⊙O于E，延长BO交⊙O于F，OA交⊙O于G，BO交⊙O于H，如图，⊙O的半径为R，根据切割线定理AD•AP=AG•AE=（OA-R）（OA+R），BC•BP=BH•BF=（BO-R）（BO+R），由于AD•AP=BC•BP，则有（OA-R）（OA+R）=（BO-R）（BO+R），即可得到OA=OB；
（2）利用AD•AP=（OA-R）（OA+R）得到（OA-3）（OA+3）=p（2p+1），而OA=m-1，所以（m-4）•（m+2）=p（2p+1），利用整数的整除性得到

m-4=p m+2=2p+1

，然后解方程组求出m即可得到OA的长．

解答：（1）证明：延长AO交⊙O于E，延长BO交⊙O于F，OA交⊙O于G，BO交⊙O于H，如图，⊙O的半径为R，
则AD•AP=AG•AE=（OA-R）（OA+R），BC•BP=BH•BF=（BO-R）（BO+R），
∵AD•AP=BC•BP，
∴（OA-R）（OA+R）=（BO-R）（BO+R），
∴OA²-R²=OB²-R²，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形；
（2）解：∵AD•AP=（OA-R）（OA+R），
∴（OA-3）（OA+3）=p（2p+1），
∵OA=m-1，
∴（m-4）•（m+2）=p（2p+1），
∵p为质数，m为正整数，
∴

m-4=p m+2=2p+1

，解得

m=9 p=5

，
∴OA的长为9-1=8．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切割线定理和与圆有关的性质、等腰三角形的判定方法；运用质数和整数的性质进行特殊运算．