Question

如图，点O是已知线段AB上一点，以OA为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OB为直径的圆与⊙O的一个交点为D，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点M．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC，BD的长度是关于x的方程x²-6x+8=0的两个根，求⊙O的半径；
（3）在上述条件下，求线段MD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，只需证明OD⊥BM，根据直径所对的圆周角是直角即可证明；
（2）根据方程的两个根确定BC，BD的长，再根据切割线定理求得圆的半径；
（3）根据切线长定理和勾股定理列方程计算．
解答：（1）证明：连接OD．
∵OB是直径，
∴∠ODB=90°，
∴BD是圆的切线．

（2）解：求得方程的两个根分别是x=2或x=4，
则BC=2，BD=4；
∵BD²=BC•BA，
∴BA=8，AC=BA-BC=6，
∴OC=AC=3．
∴圆O的半径是3．

（3）解：设MD=x，则MA=x．
根据（2）得：AB=8．
根据勾股定理，得x²+8²=（x+4）²，
∴x=6．
点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、切线的性质定理及其判定定理、勾股定理．