Question

如图：（1）在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，若∠A=x°，求∠BOC的度数；
（2）如图（2），在△ABC中OB，OC分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，若∠A=x°，求∠BOC度数；
（3）如图（3），BO，CO分别是△ABC内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线，若∠A=x°，求∠BOC的度数．

Answer 1

分析：（1）根据∠A的度数，表示出另外两角的和，然后求出它们和的一半，利用三角形内角和定理求得即可；
（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两个角的和，求出它们的一半，利用三角形内角和定理表示出来即可；
（3）根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两角和的一半，用180°减去两角和的一半即可．

解答：解：（1）∵∠A=x°，
∴∠B+∠C=180°-x°=（180-x）°，
∵OB、OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（180-x）°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（180-x）°=（90+

1

2

x）°

（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=180°+∠A
=（180+x）°，
∵OB，OC分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB）=

1

2

（180+x）°，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=（90-

1

2

x）°；

（3）∵∠ACD=∠A+∠ACB且BO，CO分别是△ABC内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线，
∴∠OCB+∠OBC=

1

2

∠ABC+∠ACB+

1

2

∠ACD=180°-

1

2

x°，
∴∠O=180°-（∠OCB+∠OBC）
=180°-（180°-

1

2

x°）
=

1

2

x°．

点评：本题考查了三角形内角和定理及三角形的外角的性质，通过本题目的变式训练能使学生完全掌握此类题目的解法．