【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB=10,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连接DE,过点B作BP平行于DE,交⊙O于点P,连接CP、OP.
(1)求证:点D为BC的中点;
(2)求AP的长度;
(3)求证:CP是⊙O的切线.
【答案】(1)BD=DC;(2)5;(3)详见解析.
【解析】
(1)连接AD,由圆周角定理可知∠ADB=90°,证得结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD,可得,则BD=DE,所以BD=DE=DC,得到∠DEC=∠DCE,在等腰△ABC中可计算出∠ABC=75°,故∠DEC=75°,再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数,再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°,进而得出∠ABP的度数,然后利用OB=OP,可知∠OBP=∠OPB,由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°,则△AOP是等腰直角三角形,易得AP的长度;
(3)设OP交AC于点G,由∠BOP=90°可知∠AOG=90°,在Rt△AOG中,由∠OAG=30°可得=,由于==,则=,根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG,由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°,然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线.
(1)BD=DC.理由如下:
如图1,连接AD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
(2)如图1,连接AP.
∵AD是等腰△ABC底边上的中线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴
∴BD=DE.
∴BD=DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE,
△ABC中,AB=AC,∠A=30°,
∴∠DCE=∠ABC=(180°﹣30°)=75°,
∴∠DEC=75°,
∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°,
∵BP∥DE,
∴∠PBC=∠EDC=30°,
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°,
∵OB=OP,
∴∠OBP=∠OPB=45°,
∴∠BOP=90°.
∴△AOP是等腰直角三角形.
∵AO=AB=5.
∴AP=AO=5;
(3)设OP交AC于点G,如图1,
则∠AOG=∠BOP=90°,
在Rt△AOG中,∠OAG=30°,
∴=,
又∵==,
∴=,
∴=.
又∵∠AGO=∠CGP,
∴△AOG∽△CPG,
∴∠GPC=∠AOG=90°,
∴OP⊥PC,
∴CP是⊙O的切线.
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【题目】如图,已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形,且△AOB和△A1OB1的周长之比为1:2,点B的坐标为(-1,2),则点B1的坐标为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,3),点B(4,0),点C(0,﹣1).
(1)以点C为中心,把△ABC逆时针旋转90°,请在图中画出旋转后的图形△A′B′C,点B′的坐标为________;
(2)在(1)的条件下,求出点A经过的路径的长(结果保留π).
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【题目】寻找神奇点!每条抛物线内都有一个神奇的点F(也叫焦点),还有一条与之配套的直线!(也叫准线),使得抛物线上的每个点到F的距离等于到直线l的距离.如图,对于抛物线上任意一点D,都有DF=DH.
根据以上知识,我们来完成以下问题:
(1)因为抛物线是轴对称图形,由对称性可知这个神奇的点F应在抛物线的 上,且准线l一定与对称轴垂直即l⊥MN(对称轴).
(2)若准线l与对称轴MN交于E,MN交抛物线于点P,则PE、PF的数量关系是PE PF(填>、=、<),
(3)求抛物线y=﹣(x﹣2)2+4的神奇点(焦点)F的坐标.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b>2a;③方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;④当x<1时,y<0.其中正确的命题是( )
A.②③B.①③C.①②D.①③④
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【题目】某射击队教练为了了解队员训练情况,从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试,相同条件下各射靶5次,成绩统计如下:
命中环数 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲命中相应环数的次数 | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 |
乙命中相应环数的次数 | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 |
(1)根据上述信息可知:甲命中环数的中位数是_____环,乙命中环数的众数是______环;
(2)试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙射击成绩的方差会变小.(填“变大”、“变小”或“不变”)
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
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【题目】如图所示,老张利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼,风平浪静时,鱼漂露出水面部分AB=6m,微风吹来时,假设铅锤P不动,鱼漂移动了一段距离BC,且项場恰好与水面平齐(即PAPC,水平线1与OC夹角a=8°(点A在OC上,则铅锤P处的水深h为( )(参考数据:sin8°=,cos8°=,tan8°=)
A.150cmB.144cmC.111cmD.105cm
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【题目】现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高度发展.据调查,太原市某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年九月份与十一月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;
(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递业务员能否完成今年十二月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
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