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【题目】如图,在△ABC中,ABAC,∠A30°AB10,以AB为直径的⊙OBC于点D,交AC于点E,连接DE,过点BBP平行于DE,交⊙O于点P,连接CPOP

1)求证:点DBC的中点;

2)求AP的长度;

3)求证:CP是⊙O的切线.

【答案】(1)BDDC;(2)5;(3)详见解析.

【解析】

1)连接AD,由圆周角定理可知∠ADB=90°,证得结论;
2)根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC,即∠BAD=CAD,可得,则BD=DE,所以BD=DE=DC,得到∠DEC=DCE,在等腰△ABC中可计算出∠ABC=75°,故∠DEC=75°,再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数,再根据BPDE可知∠PBC=EDC=30°,进而得出∠ABP的度数,然后利用OB=OP,可知∠OBP=OPB,由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°,则△AOP是等腰直角三角形,易得AP的长度;
3)设OPAC于点G,由∠BOP=90°可知∠AOG=90°,在RtAOG中,由∠OAG=30°可得,由于,则,根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG,由相似三角形形的性质可知∠GPC=AOG=90°,然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线.

1BDDC.理由如下:

如图1,连接AD

AB是直径,

∴∠ADB90°

ADBC

2)如图1,连接AP

AD是等腰△ABC底边上的中线,

∴∠BAD=∠CAD

BDDE

BDDEDC

∴∠DEC=∠DCE

ABC中,ABAC,∠A30°

∴∠DCE=∠ABC180°30°)=75°

∴∠DEC75°

∴∠EDC180°75°75°30°

BPDE

∴∠PBC=∠EDC30°

∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC75°30°45°

OBOP

∴∠OBP=∠OPB45°

∴∠BOP90°

∴△AOP是等腰直角三角形.

AOAB5

APAO5

3)设OPAC于点G,如图1

则∠AOG=∠BOP90°

RtAOG中,∠OAG30°

又∵

又∵∠AGO=∠CGP

∴△AOG∽△CPG

∴∠GPC=∠AOG90°

OPPC

CP是⊙O的切线.

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命中环数

6

7

8

9

10

甲命中相应环数的次数

0

1

3

1

0

乙命中相应环数的次数

2

0

0

2

1

1)根据上述信息可知:甲命中环数的中位数是_____环,乙命中环数的众数是______环;
2)试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定?
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A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

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